Ψιλοκόβετε το κρεμμύδι και το σκόρδο.
Καθαρίζετε και κόβετε σε μεγάλα κυβάκια τις πατάτες, τα κολοκύθια και τις πιπεριές.
Σε μια κατσαρόλα ρίχνετε το μισό ελαιόλαδο και σοτάρετε το κρέας, το κρεμμύδι και το σκόρδο.
Προσθέτετε τα τοματάκια, τη barbeque sauce, αλάτι, πιπέρι και 1/2 φλιτζ. τσαγιού νερό και σιγοβράζετε μέχρι να μαλακώσει το κρέας.
Σε ένα ταψί ρίχνετε τα λαχανικά, το υπόλοιπο ελαιόλαδο, το θυμάρι, το αλάτι και το πιπέρι και ψήνετε στους 180°C περίπου 25 λεπτά.
Ετοιμάζετε τη Μπεσαμέλ ΓΙΩΤΗΣ σύμφωνα με τις οδηγίες της συσκευασίας.
Σε ένα πυρίμαχο σκεύος ρίχνετε τα λαχανικά, το κρέας, τη σάλτσα (χωρίς πολλά υγρά), το μισό τυρί και τρεις κουταλιές της σούπας Μπεσαμέλ.
Ανακατεύετε καλά, καλύπτετε με την υπόλοιπη  Μπεσαμέλ και πασπαλίζετε με το υπόλοιπο τυρί.
Ψήνετε στους 190°C  για περίπου 20 λεπτά μέχρι να ροδίσει η επιφάνεια.

*Η Μπεσαμέλ ΓΙΩΤΗΣ παρασκευάζεται με γάλα ή εναλλακτικά, για όσους το επιθυμούν, με τη χρήση ενός φυτικού στις ίδιες ποσότητες με το γάλα.